Question

如圖,幾何體EABCD是四棱錐,△ABD為正三角形,CB=CD,EC⊥BD.

(1)求證:BE=DE;

(2)若∠BCD=120°,M為線段AE的中點(diǎn),求證:DM∥平面BEC.

Answer 1

證明:(1)如圖所示,取BD的中點(diǎn)O,連接CO,EO.

由于CB=CD,所以CO⊥BD.

又EC⊥BD,EC∩CO=C,

CO,EC⊂平面EOC,

所以BD⊥平面EOC,

因此BD⊥EO.

又O為BD的中點(diǎn),所以BE=DE.

(2)法一　如圖所示,取AB的中點(diǎn)N,連接DM,DN,MN.

因?yàn)镸是AE的中點(diǎn),

所以MN∥BE.

又MN⊄平面BEC,

BE⊂平面BEC,

所以MN∥平面BEC.

又因?yàn)椤鰽BD為正三角形,

所以∠BDN=30°.

又CB=CD,∠BCD=120°,

因此∠CBD=30°.所以DN∥BC.

又DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,

所以DN∥平面BEC.

又MN∩DN=N,

所以平面DMN∥平面BEC.

又DM⊂平面DMN,

所以DM∥平面BEC.

法二　如圖所示,延長AD,BC交于點(diǎn)F,連接EF.

因?yàn)镃B=CD,∠BCD=120°,

所以∠CBD=30°.

因?yàn)椤鰽BD為正三角形,

所以∠BAD=∠ABD=60°,∠ABC=90°,

因此∠AFB=30°,所以AB=AF.

又AB=AD,所以D為線段AF的中點(diǎn),

連接DM,由點(diǎn)M是線段AE的中點(diǎn),得DM∥EF.

又DM⊄平面BEC,EF⊂平面BEC,

所以DM∥平面BEC.