Question

已知雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點(diǎn)相同，若過(guò)右焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則此雙曲線(xiàn)的半實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：要使直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，需使雙曲線(xiàn)的其中一漸近線(xiàn)方程的斜率小于直線(xiàn)的斜率，求得a和b的不等式關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成a和c的不等式關(guān)系，求得離心率的一個(gè)范圍，最后根據(jù)雙曲線(xiàn)的離心率大于1，綜合可得求得e的范圍．

解答： 解：由已知得雙曲線(xiàn)的半焦距c=4，且

b

a

＜tan60°，
所以

b2

a2

=

c2-a2

a2

=

16

a2

-1＜3，a²＞4，
解得a＞2，又a＜c，
所以2＜a＜4．                                                                                                 故答案為：2＜a＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)、圓錐曲線(xiàn)的共同特征．在求雙曲線(xiàn)實(shí)半軸長(zhǎng)的取值范圍時(shí)，注意其值要小于4．