Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足條件：在x∈（0，1）時，f（x）=

2x

4x+1

，且f（-1）=f（1）．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）求f（x）在（0，1）上的取值范圍；
（3）若x∈（0，1），解關(guān)于x的不等式f（x）＞λ．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)x∈（-1，0），則-x∈（0，1），由已知表達(dá)式可求f（-x），由奇偶性可得f（x）=-f（-x），由奇偶性可求f（±1）；
（2）當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=

2x

4x+1

，令t=2^x，則t∈（1，2），利用導(dǎo)數(shù)可判斷新函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性可求函數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈（0，1）時，令t=2^x，則t∈（1，2），f（x）＞λ化為

t

t2+1

＞λ，根據(jù)f（x）的范圍分三種情況對λ進(jìn)行討論，借助單調(diào)性可解不等式；

解答： 解：（1）設(shè)x∈（-1，0），則-x∈（0，1），
又x∈（0，1）時，f（x）=

2x

4x+1

，
∴f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

1+4x

，
∵在R上的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-

2x

1+4x

，
f（x）在（-1，0）上的解析式為f（x）=-

2x

1+4x

．
f（-1）=f（1），即-f（1）=f（1），∴f（1）=f（-1）=0．
綜上，f（x）=

0，x=±1，0 2x 4x+1 ，x∈(0，1) - 2x 4x+1 ，x∈(-1，0)

．
（2）當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=

2x

4x+1

，
令t=2^x，則t∈（1，2），
函數(shù)變?yōu)閥=

t

t2+1

，y′=

1-t2

(t2+1)2

＜0，
∴y=

t

t2+1

在（1，2）上為減函數(shù)，
t=1時，y_max=

1

2

；t=2時，ymin=

2

5

．
∴f（x）在（0，1）上的取值范圍是（

2

5

，

1

2

）．
（3）當(dāng)x∈（0，1）時，令t=2^x，則t∈（1，2），
f（x）＞λ化為

t

t2+1

＞λ，
由（2）知

t

t2+1

的取值范圍是（

2

5

，

1

2

）．
當(dāng)λ≤

2

5

時t∈（1，2），x∈（0，1）；
當(dāng)λ≥

1

2

時，為∅；
當(dāng)

2

5

＜λ＜

1

2

時，令

t

t2+1

=λ，解得t=

1+ 1-4λ2

2λ

或t=

1- 1-4λ2

2λ

（舍去），
又y=

t

t2+1

在（1，2）上為減函數(shù)，
∴由

t

t2+1

＞λ得1＜t＜

1+ 1-4λ2

2λ

，即1＜2x＜

1+ 1-4λ2

2λ

，解得0＜x＜log2

1+ 1-4λ2

2λ

；
綜上所述，當(dāng)λ≤

2

5

時不等式的解集為（0，1）；當(dāng)λ≥

1

2

時不等式的解集為∅；當(dāng)

2

5

＜λ＜

1

2

時，不等式的解集為（0，log2

1+ 1-4λ2

2λ

）．

點評：該題考查指數(shù)函數(shù)與其它函數(shù)的綜合問題，考查函數(shù)解析式、值域的求解和不等式的解法，考查學(xué)生綜合解決問題的能力．