Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經過點M（1，$\frac{3}{2}$），其離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l：y=kx+m（m≠0，|k|≤$\frac{1}{2}$）與橢圓C相交于A、B兩點，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓C上，O為坐標原點．求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，整理得：3a²=4b²，①再將坐標點M（1，$\frac{3}{2}$），代入橢圓方程即可求得a和b的值，求得橢圓C的方程；
（2）對k需要分k=0和k≠0兩種情況討論．其中k=0時，較易求解；k≠0時，需要將橢圓方程和直線方程聯立得到關于x的二次方程，在平行四邊形OAPB中，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，由此即可得到三點的坐標關系，將丨OP丨=$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$=$\sqrt{\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}+\frac{36{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，用k來表示，由題中k的范圍即可確定丨OP丨的取值范圍．

解答 解：（1）由已知可得：由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，整理得：3a²=4b²，①
又點M（1，$\frac{3}{2}$），在橢圓C上，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1$②
由①②解得：a²=4，b²=3；
故橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）當k=0時，P（0，2m）在橢圓C上，解得：m=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴丨OP丨=$\sqrt{3}$，
當k≠0時，則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
消去y，化簡整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0，③
設A，B，P點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₀，y₀），
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$
則由以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，
∴x₀=x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$，
由于點P在橢圓C上，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，
從而$\frac{16{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{12{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$=1，
化簡得：4m²=3+4k²，經檢驗滿足③式，
又丨OP丨=$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$=$\sqrt{\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}+\frac{36{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，
=$\sqrt{\frac{4{m}^{2}（16{k}^{2}+9）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，
=$\sqrt{\frac{16{k}^{2}+9}{4{k}^{2}+3}}$，
=$\sqrt{4-\frac{3}{4{k}^{2}+3}}$，
由0＜|k|≤$\frac{1}{2}$，
∴3＜4k²+3≤4，則$\frac{3}{4}$≤$\frac{3}{4{k}^{2}+3}$＜1，
故$\sqrt{3}$＜丨OP丨≤$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
綜上，丨OP丨的取值范圍是[$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{13}}{2}$]．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量的坐標表示，考查分類討論思想，計算能力，屬于中檔題．