Question

14．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、P分別是BC、A₁D₁的中點．M、N分別是AE、CD₁的中點，AD=AA₁=$\frac{1}{2}$AB=2．
（1）求證：MN∥平面ADD₁A₁；
（2）求直線MN與平面PAE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以D為原點，$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{D{D_1}}$的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面ADD₁A₁的一個法向量，證明$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow m=（{-\frac{3}{4}}）×0+0×1+\frac{1}{2}×0=0$，故$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow m$，即可證明MN∥平面ADD₁A₁；
（2）求出平面PAE的一個法向量，即可求直線MN與平面PAE所成角的正弦值．

解答 （1）證明：以D為原點，$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{D{D_1}}$的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則故A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1）．
因為E、P分別是BC、A₁D₁的中點，所以$E（{\frac{1}{2}，2，0}），P（{\frac{1}{2}，0，1}）$．
因為M、N分別是AE、CD₁的中點，所以$M（{\frac{3}{4}，1，0}），N（{0，1，\frac{1}{2}}）$．
$\overrightarrow{MN}=（{-\frac{3}{4}，0，\frac{1}{2}}）$．
因為y軸⊥平面ADD₁A₁，所以$\overrightarrow m=（{0，1，0}）$是平面ADD₁A₁的一個法向量．
由于$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow m=（{-\frac{3}{4}}）×0+0×1+\frac{1}{2}×0=0$，故$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow m$．
又MN?平面ADD₁A₁，故MN∥平面ADD₁A₁．
（2）解：$\overrightarrow{AE}=（{-\frac{1}{2}，2，0}），\overrightarrow{AP}=（{-\frac{1}{2}，0，1}）$．
設平面PAE的一個法向量為$\overrightarrow u=（{x，y，z}）$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow u•\overrightarrow{AE}=-\frac{1}{2}x+2y=0\\ \overrightarrow u•\overrightarrow{AP}=-\frac{1}{2}x+z=0\end{array}\right.$，即x=4y=2z．
取y=1，得$\overrightarrow u=（{4，1，2}）$．
設直線MN與平面PAE所成的角為θ，則$sinθ=|{cos＜\overrightarrow{MN}，\overrightarrow u＞}|=\frac{{|{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow u}|}}{{|{\overrightarrow{MN}}|•|{\overrightarrow u}|}}=\frac{2}{{\sqrt{21}×\frac{{\sqrt{13}}}{4}}}=\frac{{8\sqrt{273}}}{273}$
因此直線MN與平面PAE所成角的正弦值為$\frac{{8\sqrt{273}}}{273}$．

點評 本題考查線面平行，考查線面角，考查向量方法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．