Question

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且， .

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；

（3）令，若對任意的都有，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】試題分析：(1)由題意易得： ，從而解得a，b的值，得到函數(shù)的表達式；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）對任意的都有恒成立，即.
試題解析：

（1）

，即

又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)

， ，即

解得：

(2) 函數(shù)在上的單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

證明如下：取且

且

即

，即

函數(shù)在上的單調(diào)遞減

同理可證得函數(shù)在上單調(diào)遞增 .

(3)

令

由（2）可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

函數(shù)的對稱軸方程為

函數(shù)在上單調(diào)遞增

當時， ；當時，

即，

又對任意的都有恒成立

即

解得.