19．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分別是AB，AC的中點．
（1）求證：B1C1∥平面A1DE；
（2）求證：平面A1DE⊥平面ACC1A1．

分析 （1）證明B1C1∥DE，即可證明B1C1∥平面A1DE；
（2）證明DE⊥平面ACC1A1，即可證明平面A1DE⊥平面ACC1A1．

解答 證明：（1）因為D，E分別是AB，AC的中點，所以DE∥BC，…（2分）
又因為在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）
又B1C1?平面A1DE，DE?平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）
（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，
又DE?底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）
又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）
又CC1，AC?平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）
又DE?平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）

點評 本題考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

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