Question

已知向量

m

=（sin

x

4

，cos

x

4

），

n

=（

3

cos

x

4

，cos

x

4

），記f（x）=

m

•

n

；
（1）若f（x）=1，求cos（x+

π

4

）的值；
（2）若△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)向量的數(shù)量積的定義求出f（x），從而解答；
（2）由正弦定理和內(nèi)角和定理

A

2

+

π

6

的取值范圍，再求f（A）=sin（

A

2

+

π

6

)+

1

2

的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin（

x

2

+

π

6

)+

1

2

+

1

2

，
∵f（x）=1，∴sin（

x

2

+

π

6

)=

1

2

，（…4分）
∴cos（x+

π

3

)=1-2sin 2(

x

2

+

π

6

)=

1

2

．            （…6分）
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）sinA，且sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

，
∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，

1

2

＜sin(

A

2

+

π

6

)＜1
又∵f（x）=sin（

x

2

+

π

6

)+

1

2

，∴f（A）=sin（

A

2

+

π

6

)+

1

2

，
故函數(shù)f（A）的取值范圍是（1，

3

2

）．               （…12分）

點評：本題主要考查向量的數(shù)量積、正弦定理和內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．