Question

已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記,,

 .

（Ⅰ）若，且對任意，三個數(shù)組成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式.

（Ⅱ）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.

Answer 1

(Ⅰ) 因為對任意，三個數(shù)是等差數(shù)列，

所以.                           ………1分

所以,                                      ………2分

即.                                    ………3分

所以數(shù)列是首項為１，公差為４的等差數(shù)列.                 ………4分

所以.                                ………5分

（Ⅱ）（１）充分性：若對于任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，則

　　　                .                     ………6分

所以得    

即.                                     ………7分

　　     因為當時，由可得，                 ………8分

所以.

因為，

所以.                                         

即數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，                ………9分

（２）必要性：若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對任意，有

.                                               ………10分

因為，

所以均大于.于是

　　　　               ………11分

　　　　             ………12分

即＝＝，所以三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.

………13分

綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n∈N﹡，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.                ………14分