Question

19．已知曲線f（x）=x+e^2x-m在x=0處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為$\frac{1}{6}$，則實數(shù)m的值為2或0．

Answer 1

分析 先求出其導(dǎo)函數(shù)，得到切線方程；進(jìn)而求出切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出切線l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積，可得結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=x+e^2x-m，∴f′（x）=1+2e^2x．
∴當(dāng)x=0時，f′（x）=3，
∴曲線f（x）=x+e^2x-m在x=0處的切線斜率為3，又∵切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1-m），
∴切線的方程為：y-1+m=3x⇒y=3x+1-m．
故切線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，1-m）和（$\frac{m-1}{3}$，0）
∴切線l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積S=$\frac{1}{2}$×|1-m|×|$\frac{m-1}{3}$|=$\frac{1}{6}$，
∴m=2或0，
故答案為2或0．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)在求曲線上切線的斜率方面的應(yīng)用，做題時熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義．