Question

設函數f（x）=

1

2

x²-（a+b）x+ablnx（其中e為自然對數的底數，a≠e，b∈R），曲線y=f（x）在點（e，f（e））處的切線方程為y=-

1

2

e²．
（1）求b；
（2）若對任意x∈[

1

e

，+∞），f（x）有且只有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,函數零點的判定定理

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′(x)=x-(a+b)+

ab

x

=

(x-a)(x-b)

x

，從而求b；
（2）由（1）得f(x)=

1

2

x2-(a+e)x+aelnx，f′(x)=

(x-a)(x-e)

x

，從而①當a≤

1

e

時，要使得f（x）在[

1

e

，+∞)上有且只有兩個零點，只需f(

1

e

)=

1

2e2

-

a+e

e

+aeln

1

e

=

(1-2e2)-2e(1+e2)a

2e2

≥0，②當

1

e

＜a＜e時，求導確定零點個數，③當a＞e時，求導確定零點個數．

解答： 解：（1）f′(x)=x-(a+b)+

ab

x

=

(x-a)(x-b)

x

，
∵f′（e）=0，a≠e，
∴b=e；

（2）由（1）得f(x)=

1

2

x2-(a+e)x+aelnx，f′(x)=

(x-a)(x-e)

x

，
①當a≤

1

e

時，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得

1

e

＜x＜e．
此時f（x）在(

1

e

，e)上單調遞減，在（e，+∞）上單調遞增．
∵f(e)=

1

2

e2-(a+e)e+aelne=-

1

2

e2＜0，
f(e2)=

1

2

e4-(a+e)e2+2ae=

1

2

e(e-2)(e2-2a)≥

1

2

e(e-2)(e2-

2

e

)＞0；
∴要使得f（x）在[

1

e

，+∞)上有且只有兩個零點，
則只需f(

1

e

)=

1

2e2

-

a+e

e

+aeln

1

e

=

(1-2e2)-2e(1+e2)a

2e2

≥0，
即a≤

1-2e2

2e(1+e2)

；
②當

1

e

＜a＜e時，
由f′（x）＞0得

1

e

＜x＜a或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．
此時f（x）在（a，e）上單調遞減，在(

1

e

，a)和（e，+∞）上單調遞增．
此時f(a)=-

1

2

a2-ae+aelna＜-

1

2

a2-ae+aelne=-

1

2

a2＜0，
∴此時f（x）在[e，+∞）至多只有一個零點，不合題意；
③當a＞e時，
由f′（x）＞0得

1

e

＜x＜e或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，
此時f（x）在(

1

e

，e)和（a，+∞）上單調遞增，在（e，a）上單調遞減，且f(e)=-

1

2

e2＜0，
∴f（x）在[

1

e

，+∞)至多只有一個零點，不合題意．
綜上所述，a的取值范圍為(-∞，

1-2e2

2e(1+e2)

]．

點評：本題考查了導數的綜合應用及導數的幾何意義的應用，同時考查了分類討論的思想應用，屬于中檔題．