【題目】已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[﹣2,2]表示的曲線過原點,且在x=±1處的切線斜率均為﹣1,給出以下結論: ①f(x)的解析式為f(x)=x3﹣4x,x∈[﹣2,2];
②f(x)的極值點有且僅有一個;
③f(x)的最大值與最小值之和等于0.
其中正確的結論有( )
A.0個
B.1個
C.2個
D.3個
【答案】C
【解析】解:函數f(x)=x3+ax2+bx+c的圖象過原點,可得c=0;
又f′(x)=3x2+2ax+b,且f(x)在x=±1處的切線斜率均為﹣1,
則有 ,解得a=0,b=﹣4.
所以f(x)=x3﹣4x,f′(x)=3x2﹣4.①可見f(x)=x3﹣4x,因此①正確;②令f′(x)=0,得x=± .因此②不正確;
所以f(x)在[﹣ , ]內遞減,
且f(x)的極大值為f(﹣ )= ,極小值為f( )=﹣ ,兩端點處f(﹣2)=f(2)=0,
所以f(x)的最大值為M= ,最小值為m=﹣ ,則M+m=0,因此③正確.
所以正確的結論為①③,
故選C.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識,掌握求函數的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值,以及對函數的最大(小)值與導數的理解,了解求函數在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數在內的極值;(2)將函數的各極值與端點處的函數值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
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【題目】某科考試中,從甲、乙兩個班級各抽取10名同學的成績進行統(tǒng)計分析,兩班成績的莖葉圖如圖所示,成績不小于90分為及格. (Ⅰ)設甲、乙兩個班所抽取的10名同學成績方差分別為 、 ,比較 、 的大。ㄖ苯訉懗鼋Y果,不寫過程);
(Ⅱ)從甲班10人任取2人,設這2人中及格的人數為X,求X的分布列和期望;
(Ⅲ)從兩班這20名同學中各抽取一人,在已知有人及格的條件下,求抽到乙班同學不及格的概率.
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【題目】如圖都是邊長為1的正方體疊成的幾何體,例如第(1)個幾何體的表面積為6個平方單位,第(2)個幾何體的表面積為18個平方單位,第(3)個幾何體的表面積是36個平方單位.依此規(guī)律,則第n個幾何體的表面積是個平方單位.
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【題目】如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點D是AB的中點.
(1)求證:AC1∥平面CDB1;
(2)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.
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【題目】已知二次函數f(x)的最小值為1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在區(qū)間[2a,a+1]上不單調,求實數a的取值范圍;
(3)在區(qū)間[-1,1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方,試確定實數m的范圍.
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【題目】某電視臺舉行電視奧運知識大獎賽,比賽分初賽和決賽兩部分.為了增加節(jié)目的趣味性,初賽采用選手選一題答一題的方式進行,每位選手最多有5次選題答題的機會,選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽的比賽,答對3題者直接進入決賽,答錯3題者則被淘汰.已知選手甲答題的正確率為 . (Ⅰ)求選手甲可進入決賽的概率;
(Ⅱ)設選手甲在初賽中答題的個數為ξ,試寫出ξ的分布列,并求ξ的數學期望.
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