Question

【題目】設(shè)各項(xiàng)均為整數(shù)的無(wú)窮數(shù)列滿足：，且對(duì)所有，均成立.

（1）寫出的所有可能值（不需要寫計(jì)算過(guò)程）；

（2）若是公差為1的等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；

（3）證明：存在滿足條件的數(shù)列，使得在該數(shù)列中，有無(wú)窮多項(xiàng)為2019.

Answer 1

【答案】（1），，，1，3，5，7；（2），；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）通過(guò)列舉法表示出所有可能值

（2）分析可知表示的是原數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)，求得奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，再利用相鄰兩項(xiàng)差的絕對(duì)值的關(guān)系構(gòu)造關(guān)系式解出偶數(shù)項(xiàng)，進(jìn)而求得通項(xiàng)

（3）可利用（2）中的數(shù)列，構(gòu)造一個(gè)循環(huán)數(shù)列，則可證明循環(huán)數(shù)列中存在無(wú)窮多項(xiàng)為2019

（1），，，1，3，5，7；

（2）是公差為1的等差數(shù)列，

數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)為公差為1的等差數(shù)列，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，由可知：，即

解得：，；

（3）由（2）可知存在一個(gè)數(shù)列使得奇數(shù)項(xiàng)為從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)，則易知，

然后自4037項(xiàng)開(kāi)始，構(gòu)造奇數(shù)項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列，由（2）可知，

當(dāng)，時(shí)，

當(dāng)時(shí)，由可知

即，解得：

則當(dāng)奇數(shù)項(xiàng)取至1時(shí)，重復(fù)第一段的數(shù)列，得到一個(gè)周期數(shù)列，在此周期數(shù)列中，存在無(wú)窮多項(xiàng)為2019，即可得證．