Question

在△ABC中，若角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，acosB+bcosA=csinC，且△ABC的面積S=

1

4

（b²+c²-a²），試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的形狀判斷,正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：由條件利用正弦定理、誘導(dǎo)公式求得sinC=1，可得C=

π

2

，△ABC為直角三角形；再根據(jù)△ABC的面積S=

1

4

（b²+c²-a²）=

1

2

ab，求得a=b，可得△ABC為等腰直角三角形．

解答： 解：△ABC中，由acosB+bcosA=csinC利用正弦定理可得sinAcosB+cosAsinB=sinC•sinC，
即sin（A+B）=sinC•sinC，故有sinC=sinC•sinC，∴sinC=1，C=

π

2

，∴△ABC為直角三角形，a²+b²=c² ．
再根據(jù)△ABC的面積S=

1

4

（b²+c²-a²）=

1

4

•2b²=

1

2

ab，求得a=b，故三角形ABC為等腰三角形．
綜上可得，△ABC為等腰直角三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理、誘導(dǎo)公式，三角形的面積公式的應(yīng)用，判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題．