Question

若拋物線的焦點在x軸上，且拋物線上的點到直線l：4x+3y+46=0的距離的最小值為2，求拋物線方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=mx，m＞0．設(shè)與直線l平行且與拋物線相切的直線方程為4x+3y+t=0，與拋物線方程聯(lián)立可得16x²+（8t-9m）x+t²=0，
令△=0，化為9m=16t．由于兩條平行線4x+3y+t=0，4x+3y+46=0之間的距離d=2，可得

|t-46|

32+42

=2，解出即可．

解答： 解：由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=mx，m＞0．
設(shè)與直線l平行且與拋物線相切的直線方程為4x+3y+t=0，
聯(lián)立

4x+3y+t=0 y2=mx

，化為16x²+（8t-9m）x+t²=0，
令△=0，化為9m=16t．
∵兩條平行線4x+3y+t=0，4x+3y+46=0之間的距離d=2，
∴

|t-46|

32+42

=2，
解得t=36，56舍去．
∴9m=16×36，
解得m=64．
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²=64x．

點評：本題查克拉拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相切問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立與△=0、平行線之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．