Question

4．△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且角A，B，C滿足A＜B＜C，a²+c²-b²=ac．
（1）求角B的大��；
（2）若$tanA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，c=\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理可求cosB的值，結(jié)合B為三角形內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值可求B的值．
（2）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，cosA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值，利用正弦定理可求a的值，根據(jù)三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（1）∵a²+c²-b²=ac，
∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$，
又∵B是三角形的內(nèi)角，
∴$B=\frac{π}{3}$；
（2）∵$tanA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，A＜B＜C$，
∴$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，cosA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴$sinC=sin（{A+B}）=sin（{A+\frac{π}{3}}）=sinAcos\frac{π}{3}+cosAsin\frac{π}{3}=\frac{{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}}{6}$，
∵$c=\sqrt{3}，\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
∴$a=\frac{2}{5}（{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}）$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{3}{10}（{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．