Question

a、b、c、d四名運動員爭奪某次賽事的第1、2、3、4名，比賽規(guī)則為：通過抽簽，將4人分為甲、乙兩個小組，每組2人，第一輪比賽（半決賽）：兩組各進行一場比賽決出各組的勝者和負者；第二輪比賽（決賽）：兩組中的勝者進行一場比賽爭奪第1、2名，兩組中的負者進行一場比賽爭奪第3、4名，死命選手以往交手的勝負情況如表所示：

	a	b	c	d
a	-	a20勝10負	a13勝利26負	a18勝18負
b	b10勝20負	-	b28勝14負	b19勝19負
c	c26勝13負	c14勝28負	-	c17勝17負
d	d18勝18負	d19勝19負	d17勝17負	-

若抽簽結(jié)果為甲組：a、d，乙組：b、c，每場比賽中，以雙方以往交手各自獲勝的概率作為其獲勝的概率．
（1）求a獲得第1名的概率；
（2）求a的名次ξ的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）設a分別與b，c，d比賽時，a獲勝為事件A_b，A_c，A_d，則P（A_b）=

2

3

，P（A_c）=

1

3

，P（A_d）=

1

2

，設b分別與a，c，d比賽時，b獲勝為事件B_a，B_c，B_d，則P(Ba)=

1

3

，P（B_c）=

2

3

，P（B_d）=

1

2

，設c分別與a，b，d比賽時，獲勝為事件C_a，C_b，C_d，則P（C_a）=

2

3

，P（C_b）=

1

3

，P（C_d）=

1

2

，設d分別與a，b，c比賽時，d獲勝為事件D_a，D_b，D_c，則P（D_a）=

1

2

，P（D_b）=

1

2

，P（D_c）=

1

2

，若a獲得第一名，則甲組中a勝，且a與乙中的勝者比賽進仍獲勝，由此能求出a獲得第1名的概率．
（2）a的名次ξ的可能取值為1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出a的名次ξ的分布列及數(shù)學期望．

解答： 解：（1）設a分別與b，c，d比賽時，a獲勝為事件A_b，A_c，A_d，
則P（A_b）=

2

3

，P（A_c）=

1

3

，P（A_d）=

1

2

，
設b分別與a，c，d比賽時，b獲勝為事件B_a，B_c，B_d，
則P(Ba)=

1

3

，P（B_c）=

2

3

，P（B_d）=

1

2

，
設c分別與a，b，d比賽時，獲勝為事件C_a，C_b，C_d，
則P（C_a）=

2

3

，P（C_b）=

1

3

，P（C_d）=

1

2

，
設d分別與a，b，c比賽時，d獲勝為事件D_a，D_b，D_c，
則P（D_a）=

1

2

，P（D_b）=

1

2

，P（D_c）=

1

2

，
若a獲得第一名，則甲組中a勝，且a與乙中的勝者比賽進仍獲勝，
∴a獲得第1名的概率：
P=P（A_d）P（B_c）P（A_b）+P（A_d）P（C_b）P（A_c）
=

1

2

×

2

3

×

2

3

+

1

2

×

1

3

×

1

3

=

5

18

，
∴a獲得第1名的概率為

5

18

．
（2）a的名次ξ的可能取值為1，2，3，4，
P（ξ=1）=P（A_d）P（B_c）P（A_b）+P（A_d）P（C_b）P（A_c）=

1

2

×

2

3

×

2

3

+

1

2

×

1

3

×

1

3

=

5

18

，
ξ=2，表示甲組中a勝，且a與乙中的勝者比賽時負，
∴P（ξ=2）=P（A_d）P（B_c）P（B_d）+P（A_d）P（C_b）P（A_c）=

1

2

×

2

3

×

1

3

+

1

2

×

1

3

×

2

3

=

4

18

，
ξ=3表示甲組中a負，且a與乙組的負者比賽時獲勝，
∴P（ξ=3）=P（D_a）P（B_c）P（A_c）+P（D_a）P（C_a）P（A_b）=

1

2

×

2

3

×

1

3

+

1

2

×

1

3

×

2

3

=

4

18

，
P（ξ=4）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=

5

18

，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	5 18	4 18	4 18	5 18

Eξ=1×

5

18

+2×

4

18

+3×

4

18

+4×

5

18

=

5

2

．

點評：本題考查相互獨立事件概率、離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望等基礎知識，考查數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．