Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|-|2x+1|．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）的最大值時a，已知x，y，z均為正實數(shù)，且x+y+z=a，求證：$\frac{{y}^{2}}{x}$+$\frac{{z}^{2}}{y}$+$\frac{{x}^{2}}{z}$≥1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作出函數(shù)的圖象，即可求f（x）的值域；
（Ⅱ）利用柯西不等式，即可證明結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：函數(shù)f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|-|2x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{3}{2}，x＜-\frac{1}{2}}\\{-3x-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{-x-\frac{3}{2}，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的值域為（-∞，1]；
（Ⅱ）證明：由題意x，y，z均為正實數(shù)，x+y+z=1，
由柯西不等式可得（x+y+z）（$\frac{{y}^{2}}{x}$+$\frac{{z}^{2}}{y}$+$\frac{{x}^{2}}{z}$）≥（y+z+z）²=1，
∴$\frac{{y}^{2}}{x}$+$\frac{{z}^{2}}{y}$+$\frac{{x}^{2}}{z}$≥1．

點評 本題考查絕對值函數(shù)的值域，考查不等式的證明，考查柯西不等式，屬于中檔題．