【題目】已知函數(shù) .

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若且，求證：.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后，通過(guò)和兩種情況，確定的正負(fù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明：；設(shè)，，只需證；通過(guò)求導(dǎo)運(yùn)算，可知，再通過(guò)零點(diǎn)存在定理，不斷確定的最值位置，從而證得，證得結(jié)論.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

①若時(shí)，則，在上單調(diào)遞減；

②若時(shí)，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

故在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞増

（2）若且，欲證

只需證

即證

設(shè)函數(shù)，，則

當(dāng)時(shí)，；故函數(shù)在上單調(diào)遞增

所以

設(shè)函數(shù)，則

設(shè)函數(shù)，則

當(dāng)時(shí)，

故存在，使得

從而函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

故存在，使得

即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

從而函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

因?yàn)?/span>

故當(dāng)時(shí)，

所以

即

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