Question

【題目】在四棱錐中，平面平面，平面平面.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若底面為矩形，，為的中點，，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）由題意平面，得到所以，同理可證，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；

（Ⅱ）分別以、、所在方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系，求得向量和平面的一個法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解直線與平面所成的角的正弦值.

試題解析：

（Ⅰ）證法1：在平面內過點作兩條直線，，

使得，.

因為，所以，為兩條相交直線.

因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面.所以.同理可證.又因為平面，平面，，所以平面.

證法2：在平面內過點作，在平面內過點作.

因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面.同理可證平面.而過點作平面的垂線有且僅有一條，所以與重合.所以平面.所以，直線為平面與平面的交線.所以，直線與直線重合.所以平面.

（Ⅱ）如圖，分別以、、所在方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系.設，則，，，，，.

由為的中點，得；由，得.所以，，.設平面的一個法向量為，

則，即.取，則，.所以.

所以 .

所以，直線與平面所成角的正弦值為.