Question

設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≤0時，f（x）=x²，若對任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x）≤9f（x+t）恒成立，則實數(shù)t的最大值是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由已知表達式及奇函數(shù)的性質求出函數(shù)f（x）在R上的解析式，易判斷其單調性，再把不等式f（x）≤9f（x+t）進行等價變形，轉化為兩個自變量的值間的不等關系，進而可轉化為函數(shù)的最值問題解決．

解答： 解：當x≤0時，f（x）=x²，
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴當x＞0時，f（x）=-x²，
∴f（x）=

x2，(x≤0) -x2，(x＞0)

，
則函數(shù)f（x）的圖象如圖：
則函數(shù)f（x）在R上單調遞減，
∵9f（x+t）=3²f（x+t）=f（3x+3t），
∴對任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x）≤9f（x+t）恒成立，
等價為對任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x）≤f（3x+3t）恒成立，
即x≥3x+3t，即x≤-

3

2

t恒成立，
∵x∈[t，t+2]，
∴t+2≤-

3

2

t恒成立，
即

5

2

t≤-2，解t≤-

4

5

，
則實數(shù)t的最大值為-

4

5

．
故答案為：-

4

5

．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題及函數(shù)的奇偶性，考查學生靈活運用所學知識分析問題解決問題的能力．