Question

已知函數(shù)f（x）=x²+

a

x

，常數(shù)a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈[2，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=0時(shí)容易判斷出f（x）是偶函數(shù)，對于a≠0時(shí)能夠判斷出是非奇非偶函數(shù)，只需舉反例說明即可；
（2）求f′（x），則有f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，便得到a≤2x³恒成立，從而得到a≤16，這便得出了a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²，對任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（-x）=（-x）²=x²=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)；
當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）=x2+

a

x

（a≠0，x≠0），取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0，f（-1）-f（1）=-2a≠0，∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1）；
∴函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；
（2）f′（x）=2x-

a

x2

=

2x3-a

x2

；
∴x∈[2，+∞）時(shí)，

2x3-a

x2

≥0恒成立，即a≤2x³恒成立，2x³在[2，+∞）的最小值為16，∴a≤16；
∴a的取值范圍是（-∞，16]．

點(diǎn)評：考查奇偶函數(shù)的定義，函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，2x³的單調(diào)性并根據(jù)單調(diào)性求最值．