Question

某縣位于沙漠邊緣地帶，人與自然長期進行頑強的斗爭，到2009年底全縣的綠化率已達到30%，從2009年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面：原有沙漠面積的16%被栽上樹，改造成綠洲，而同時原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變成沙漠．
（1）設全縣面積為1，2009年底綠洲面積a₁=

3

10

，經(jīng)過一年（指2010年底）綠洲面積為a₂，經(jīng)過n年綠洲面積為a_n+1，求證：a_n+1=

4

5

an+

4

25

．
（2）問至少經(jīng)過多少年的努力才能使全縣綠洲面積超過60%（年取整數(shù)，lg2≈0.3010）．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運用數(shù)列的遞推關系式求解證明．
（2）利用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列求解，求通項公式，列出不等式求解運算．

解答： 解：（1）證明：設第（n-1）年沙漠面積為b_n，則a_n+b_n=1
∴a_n+1=

96

100

a_n+

16

100

b_n=

96

100

a_n+

16

100

(1-an)=

80

100

a_n+

16

100

=

4

5

a_n+

4

25

（2）設至少經(jīng)過n年的努力才能使全縣綠化面積超過60%．
由（1）可知：a_n+1=

4

5

a_n+

4

25

，
設a_n+1+λ=

4

5

（a_n+λ），∴-

1

5

λ=

4

25

∴λ=-

4

5

∴{a_n-

4

5

}為等比數(shù)列，首項a₁-

4

5

=

3

10

-

4

5

=-

1

2

，公比q=

4

5

∴a_n+1-

4

5

=（-

1

2

）×（

4

5

）ⁿ，即a_n+1=

4

5

-

1

2

×（

4

5

）ⁿ＞60%=

3

5

，
∴（

4

5

）ⁿ＜

2

5

，∴nlg

4

5

＜lg

2

5

，
∴n＞

lg 2 5

lg 4 5

=

2lg2-1

3lg2-1

≈4.1，
有n∈N⁺，∴至少經(jīng)過5年的努力才能使全縣綠化面積超過60%．

點評：本題考查了等比數(shù)列的定義，性質(zhì)；運用解決實際問題的能力；構造法求解數(shù)列問題．