Question

已知曲線C?x²-y²=1及直線l：y=kx-1．
（1）若l與C左支交于兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若l與C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB的面積為

2

，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（1）將直線與雙曲線聯(lián)立，利用l與C左支交于兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合韋達(dá)定理，建立不等式，從而可求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）利用韋達(dá)定理，結(jié)合△AOB的面積為

2

，可建立k的方程，從而可求實(shí)數(shù)k的值．

解答：解：（1）由

x2-y2=1 y=kx-1

消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
∵l與C左支交于兩個(gè)不同的交點(diǎn)
∴

1-k2≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0

且 x₁+x₂=-

2k

1-k2

＜0，x₁x₂=-

2

1-k2

＞0
∴k的取值范圍為 （-

2

，-1）
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由（1）得 x₁+x₂=-

2k

1-k2

，x₁x₂=-

2

1-k2

．
又l過(guò)點(diǎn)D（0，-1），
∴S_△OAB=

1

2

|x₁-x₂|=

2

．
∴（x₁-x₂）²=（2

2

）²，即（-

2k

1-k2

）²+

8

1-k2

=8．
∴k=0或k=±

6

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，綜合性強(qiáng)．