Question

為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的房頂和外墻需要建造隔熱層，某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元，該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用為C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿(mǎn)足關(guān)系：C（x）=（0x10），若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元。設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和。

(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；

(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f（x）達(dá)到最小，并求最小值。

 

Answer 1

【答案】

(1) k=40，f(x)= (2) 最小值70萬(wàn)元

【解析】

試題分析：解：(1)設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)=

再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=而建造費(fèi)用為C₁(x)=6x.

最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為

f(x)="20C(x)+" C₁(x)=

(2)令即

解得x=5,x=(舍去)

當(dāng)0<x<5時(shí)，f’(x)<0,當(dāng)5<x<10時(shí)f’(x)>0,故x=5是f(x)的最小值點(diǎn),對(duì)應(yīng)的最小值為

當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元。

考點(diǎn)：函數(shù)的解析式；函數(shù)的最值。

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的最值，方法有：二次函數(shù)配方法、導(dǎo)數(shù)法和基本不等式法。本題是用到導(dǎo)數(shù)法。