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3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=32an-32,數(shù)列{bn}中,b1=1,點P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項an和bn;
(2)設(shè)cn=an•bn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn

分析 (1)由Sn=32an-32,可得當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1,即an=3an-1,a1=S1,利用等比數(shù)列的通項公式即可得出.∵由點P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上,bn+1-bn=2,利用等差數(shù)列的通項公式即可得出.
(2)cn=an•bn=(2n-1)•3n,利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 解:(1)∵Sn=32an-32
∴當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=32an-32-32an132
即an=3an-1,.
∵a1=S1=32a1-32,∴a1=3.
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,∴an=3n. 
∵點P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上,
∴bn+1-bn=2,
即數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,又b1=1,∴bn=2n-1.
(2)∵cn=an•bn=(2n-1)•3n
∵Tn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n,
∴3Tn=1×32+3×33+5×34+…+(2n-3)3n+(2n-1)3n+1
兩式相減得:-2Tn=3+2×(32+33+34+…+3n)-(2n-1)3n+1,
=-6-2(n-1)3n+1
∴Tn=3+(n-1)3n+1

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式、“錯位相減法”、遞推關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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