Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 是正三角形， 是等腰三角形， ， ．

（1）求證： ；

（2）若， ，平面平面，直線與平面所成的角為45°，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）取BD中點O，連結(jié)CO，EO，推導出CO⊥BD，EO⊥BD，由此能證明BE=DE．

（2）以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的余弦值．

試題解析：

證明：（1）取BD中點O，連結(jié)CO，EO，

∵△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，∴CB=CD，∴CO⊥BD，

又∵EC⊥BD，EC∩CO=C，∴BD⊥平面EOC，∴EO⊥BD，

在△BDE中，∵O為BD的中點，∴BE=DE．

（2）∵平面EBD⊥平面ABCD，平面EBD∩平面ABCD=BD，

EO⊥BD，∴EO⊥平面ABCD，

又∵CO⊥BD，AO⊥BD，

∴A，O，C三點共線，AC⊥BD，

以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標系，

在正△ABD中，AB=2，∴AO=3，BO=DO=，

∵直線AE與平面ABD所成角為45°，∴EO=AO=3，

A（3，0，0），B（0，，0），D（0，﹣，0），E（0，0，3），

=（﹣3，，0），=（﹣3，﹣，0），=（﹣3，0，3），

設平面ABE的法向量=（a，b，c），

則，取a=1，得=（1，，1），

設平面ADE的法向量=（x，y，z），

則，取x=1，得=（1，﹣，1），

設二面角B﹣AE﹣D為θ，

則cosθ===．

∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值為．