Question

已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x．
（1）求f（x）的最大值及最大值時自變量x的集合；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過正弦函數(shù)的最值求f（x）的最大值及最大值時自變量x的集合；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，直接求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意得：f（x）=sin²x+2sinxcosx+cos²x+2cos²x
=sin2x+cos2x+2
=

2

sin(2x+

π

4

)+2…（4分）
所以當2x+

π

4

=2kπ+

π

2

(k∈Z)時，
即{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}…（6分）
f（x）取最大值，且f(x)max=2+

2

．…（7分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得2kπ-

3π

4

≤2x≤2kπ+

π

4

，k∈Z．所以kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z…（10分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)二倍角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是中檔題．