Question

如圖，點C為半圓的直徑AB延長線上一點，AB=BC=2，過動點P作半圓的切線PQ，若PC=

3

PQ，則△PAC的面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：圓的切線的性質定理的證明

專題：直線與圓

分析：以AB所在直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，利用兩點間距離公式推導出點P的軌跡方程是以（-

3

2

，0）為圓心，以

33

2

為半徑的圓，由此能求出△PAC的面積的最大值．

解答： 解：以AB所在直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，
建立平面直角坐標系，
∵AB=BC=2，∴C（3，0），
設P（x，y），
∵過動點P作半圓的切線PQ，PC=

3

PQ，
∴

(x-3)2+y2

=

3

•

x2+y2-1

，
整理，得x²+y²+3x-6=0，
∴點P的軌跡方程是以（-

3

2

，0）為圓心，
以r=

1

2

9+24

=

33

2

為半徑的圓，
∴當點P在直線x=-

3

2

上時，△PAC的面積的最大，
∴（S_△PAC）_max=

1

2

×4×

33

2

=

33

．
故答案為：

33

．

點評：本題考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．