Question

【題目】某理財公司有兩種理財產(chǎn)品A和B．這兩種理財產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下（每種理財產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之間相互獨立）： 產(chǎn)品A產(chǎn)品B（其中p、q＞0）

投資結(jié)果	獲利40%	不賠不賺	虧損20%
概率

投資結(jié)果	獲利20%	不賠不賺	虧損10%
概率	p

（1）已知甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品A和產(chǎn)品B進(jìn)行投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于 ，求p的取值范圍；
（2）丙要將家中閑置的10萬元錢進(jìn)行投資，以一年后投資收益的期望值為決策依據(jù)，在產(chǎn)品A和產(chǎn)品B之中選其一，應(yīng)選用哪個？

Answer 1

【答案】
（1）解：記事件A為“甲選擇產(chǎn)品A且盈利”，

事件B為“乙選擇產(chǎn)品B且盈利”，

事件C為“一年后甲、乙兩人中至少有一人投資獲利”，

則 ，

所以 ，所以 ；

又因為 ，

所以 ；

所以 ；

（2）解：假設(shè)丙選擇產(chǎn)品A進(jìn)行投資，且記X為獲利金額（單位：萬元），所以隨機變量X的分布列為：

X	4	0	﹣2
P

則 ．

假設(shè)丙選擇產(chǎn)品B進(jìn)行投資，且記Y為獲利金額（單位：萬元），所以隨機變量Y的分布列為：

Y	2	0	﹣1
P	p		q

則 ；

當(dāng) 時，E（X）=E（Y），選擇產(chǎn)品A和產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望相同，可以在產(chǎn)品A和產(chǎn)品B中任選一個；

當(dāng) 時，E（X）＞E（Y），選擇產(chǎn)品A一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望大，應(yīng)選產(chǎn)品A；

當(dāng) 時，E（X）＜E（Y），選擇產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望大，應(yīng)選產(chǎn)品B．

【解析】（1）利用相互獨立事件和對立事件的概率計算公式，求出“甲選擇產(chǎn)品A且盈利”、“乙選擇產(chǎn)品B且盈利”和“一年后甲、乙兩人中至少有一人投資獲利”的概率值，列出不等式求出p的取值范圍；（2）設(shè)丙選擇產(chǎn)品A進(jìn)行投資，記X為獲利金額，寫出X的分布列，計算數(shù)學(xué)期望；設(shè)丙選擇產(chǎn)品B進(jìn)行投資，記Y為獲利金額，寫出Y的分布列，計算數(shù)學(xué)期望；討論p的取值，得出E（X）與E（Y）的大小關(guān)系即可．
【考點精析】利用離散型隨機變量及其分布列對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．