Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q分別是線段（不包括端點(diǎn)）CC₁，BD上的點(diǎn)，PQ∥ABC₁D₁，記CP=x，四面體PQA₁B₁的體積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)大致圖象是（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,空間向量及應(yīng)用

分析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，過Q作QE⊥BC與E，得到面PQE∥面ABC₁D₁，得到CP=CE，建立空間坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積求出四面體的高，即Q到面A₁B₁P的距離，利用三棱錐的體積公式構(gòu)造關(guān)于線段CP的長(zhǎng)度為x的關(guān)系式，根據(jù)解析式選擇函數(shù)圖象．

解答： 解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，過Q作QE⊥BC與E，∴QE∥AB，
∵PQ∥ABC₁D₁，
∴面PQE∥面ABC₁D₁，
∴CP=CE，
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CC₁所在的直線為x軸，CB所在直線為Y軸，CD所在直線為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
那么C（0，0，0），P（x，0，0），A₁（1，1，1），B₁（1，1，0），Q（0，x，1-x），
四面體PQA₁B₁的體積為y，△A₁B₁P面積為S，Q到面A₁B₁P的距離為d，則y=

1

3

Sd=

1

6

1+(1-x)2

d，設(shè)

n

為面A₁B₁P的法向量，由

n • A1B1 =0 n • B1P =0

，得

n

=（1，x-1，0），
∴d=

n • PQ

1+(x-1)2

=

2x-x2

x2-2x

=-

x2-2x

，
∴y=-

1

6

1+(1-x)2

x2-2x

=-

1

6

(x2-2x)=-

1

6

（x-1）²+

1

6

，x∈（0，1），由此y關(guān)于x的函數(shù)大致圖象是A；
故選A．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是借助于空間坐標(biāo)系，通過向量的數(shù)量積求出四面體的高，同時(shí)考查了空間想象能力及推理能力．