Question

【題目】已知函數(shù)，且在處的切線與平行．

求的單調區(qū)間；

若存在區(qū)間，使在上的值域是，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析.

【解析】

對函數(shù)求導，由求出a的值，然后將a的值代入導數(shù)，求出極值點，討論導數(shù)的正負，即可求出函數(shù)的單調區(qū)間；由函數(shù)在區(qū)間上單調遞增得到，將問題轉化為關于x的方程在區(qū)間上有兩個解，利用參變量分離法得出在區(qū)間上有兩個解，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，即可求出b的取值范圍．

由，得，

由，得．

．

則，

由，得，由，得．

的單調減區(qū)間為，增區(qū)間為；

由知，，且函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，若存在區(qū)間，使在上的值域是，

則有，則，得，

所以，關于x的方程在區(qū)間上有兩解，

由，得，構造函數(shù)，其中，

所以，直線與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有兩個交點，

，

構造函數(shù)，則，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，由于，

當時，，即；當時，，即．

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，

所以，函數(shù)在處取得最小值，即，

由于，，所以，，

結合圖象可知，當時，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，

因此，實數(shù)b的取值范圍是．