Question

如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=AB=1，∠ABC=

π

3

．
（1）求證：PB∥面ACE；
（2）求PB與面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：計(jì)算題,作圖題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連BD交AC于O點(diǎn)，連OE，可證OE∥PB，從而可得PB∥面AEC；
（2）連結(jié)PO，可證明BD⊥面PAC，因此∠BPO為PB與面PAC所成的角；從而求PB與面PAC所成角的正弦值．

解答： 解：（1）證明：連BD交AC于O點(diǎn)，連OE，
∵ABCD為菱形，
∴O為BD的中點(diǎn)，
又∵E為PD的中點(diǎn)，
∴OE∥PB，
又∵PB?面AEC，OE?面AEC，
∴PB∥面AEC．

（2）連結(jié)PO，
∵O為BD的中點(diǎn)，
∴BD⊥AC，
又∵PA⊥面ABCD，
PA⊥BD，
∴BD⊥面PAC，
∠BPO為PB與面PAC所成的角．
在Rt△PAB中，PA=AB=1，
∴PB=

2

，
在菱形ABCD中，∠ABC=

π

3

，AB=1，
∴BO=

3

2

，
∴sin∠BPO=

6

4

．

點(diǎn)評：本題考查了線面平行的證明及線面所成角的作法及求法，同時(shí)考查了輔助線的作法，屬于中檔題．