Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx
（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，2]內(nèi)是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求極值．
（2）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)可得到其導(dǎo)函數(shù)在[1，2]上小于等于0應(yīng)該恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得a的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=x²+ax-lnx，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²+x-lnx，x＞0
求導(dǎo)得：f'（x）=2x-

1

x

+1
令f'（x）=0，整理得：2x²+x-1=0，即（2x-1）（x+1）=0
所以x=

1

2

，
0＜x＜

1

2

時(shí)，f'（x）＜0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，單調(diào)減區(qū)間為（0，

1

2

]；
當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，f'（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為[

1

2

，+∞），
∴x=

1

2

時(shí)，函數(shù)取得極小值

3

4

+ln2；
（2）∵函數(shù)f（x）在[1，2]內(nèi)是減函數(shù)，
∴f'（x）=

2x2+ax-1

x

≤0在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x²+ax-1，有

h(1)≤0 h(2)≤0

得

a≤-1 a≤- 7 2

，
∴a≤-

7

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．