Question

已知函數(shù)f(x)＝x³＋ax²＋bx＋a²(a，b∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)在x＝1處有極值10，求b的值；
(2)若對(duì)于任意的a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上單調(diào)遞增，求b的最小值．

Answer 1

（1）b＝－11   （2）

解：(1)f′(x)＝3x²＋2ax＋b，
于是，根據(jù)題設(shè)有，
解得或.
當(dāng)時(shí)，f′(x)＝3x²＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函數(shù)有極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，f′(x)＝3(x－1)²≥0，所以函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)．
所以b＝－11.
(2)由題意知f′(x)＝3x²＋2ax＋b≥0對(duì)任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，
所以F(a)＝2xa＋3x²＋b≥0對(duì)任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立．
因?yàn)閤≥0，
所以F(a)在a∈[－4，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)或?yàn)槌��?shù)函數(shù)，
①當(dāng)F(a)為常數(shù)函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(a)＝b≥0；
②當(dāng)F(a)為增函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(a)_min＝F(－4)＝－8x＋3x²＋b≥0，
即b≥(－3x²＋8x)_max對(duì)任意x∈[0,2]都成立，
又－3x²＋8x＝－3(x－)²＋≤，
所以當(dāng)x＝時(shí)，(－3x²＋8x)_max＝，所以b≥.
所以b的最小值為.