Question

12．（1）在數(shù)列{a_n}中，S_n是其前n項和，已知S_n=2n²-3n+2；求通項a_n．
（2）已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n+3，n∈N^*，求通項a_n．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列的前n項和求出首項，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出a_n，已知首項后得答案；
（2）由已知數(shù)列遞推式構造等比數(shù)列{a_n+3}，求其通項公式，進一步得到通項a_n．

解答 解：（1）由S_n=2n²-3n+2，得a₁=1．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²-3n+2-[2（n-1）²-3（n-1）+2]=4n-5．
驗證n=1時上式不成立．
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1（n=1）\\ 4n-5（n≥2）\end{array}\right.$；
（2）由a_n+1=2a_n+3，得（a_n+1+3）=2（a_n+3），
又a₁+3=4≠0，
∴$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}+3}=2$，則數(shù)列{a_n+3}是以4為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
則${a}_{n}+3=4×{2}^{n-1}={2}^{n+1}$，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-3．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關系的確定，訓練了“構造法”求數(shù)列的通項公式，是中檔題．