Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，設(shè)，求證：對(duì)任意的，；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，不等式恒成立.求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先將所證問題“對(duì)任意的，”轉(zhuǎn)化為“”，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為“”，然后令，并求出其導(dǎo)函數(shù)并判斷其函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出所證的結(jié)果；（Ⅱ）首先將問題“對(duì)任意，不等式恒成立”轉(zhuǎn)化為“”，然后構(gòu)造函數(shù)，，并求出導(dǎo)函數(shù)并進(jìn)行分類討論：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，并分別求出其導(dǎo)函數(shù)并判斷其單調(diào)性，最后結(jié)合已知條件即可得出所求的結(jié)果．

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，，

所以等價(jià)于.

令，則，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，即，亦即，

所以.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，．

所以不等式等價(jià)于.

令，，

則.

當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，

所以根據(jù)題意，知有，∴.

當(dāng)時(shí)，由，知函數(shù)在上單調(diào)增減；

由，知函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以.

由條件知，，即.

設(shè)，，則，，

所以在上單調(diào)遞減.

又，所以與條件矛盾.

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.