Question

對(duì)于數(shù)列{a_n}，定義H_n=

a1+2a2+…+2n-1an

n

為{a_n}的“優(yōu)值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列{a_n}的“優(yōu)值”H_n=2ⁿ⁺¹，記數(shù)列{a_n-kn}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n≤S₅對(duì)任意的n（n∈N^*）恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意，a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=n2ⁿ⁺¹，a₁+2a₂+…+2^n-2a_n-1=（n-1）2ⁿ，從而求出a_n=2（n+1），可得數(shù)列{a_n-kn}為等差數(shù)列，從而將S_n≤S₅對(duì)任意的n（n∈N^*）恒成立化為a₅≥0，a₆≤0；從而求解．

解答： 解：由題意，
H_n=

a1+2a2+…+2n-1an

n

=2ⁿ⁺¹，
則a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=n2ⁿ⁺¹，
a₁+2a₂+…+2^n-2a_n-1=（n-1）2ⁿ，
則2^n-1a_n=n2ⁿ⁺¹-（n-1）2ⁿ
=（n+1）2ⁿ，
則a_n=2（n+1），
對(duì)a₁也成立，
故a_n=2（n+1），
則a_n-kn=（2-k）n+2，
則數(shù)列{a_n-kn}為等差數(shù)列，
故S_n≤S₅對(duì)任意的n（n∈N^*）恒成立可化為
a₅≥0，a₆≤0；
即

5(2-k)+2≥0 6(2-k)+2≤0

解得，

7

3

≤k≤

12

5

，
故答案為：

7

3

≤k≤

12

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法的問題，屬于中檔題．