【題目】已知函數(shù)（其中），，已知和在處有相同的切線．

（1）求函數(shù)和的解析式；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；

（3）判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．

【答案】（1）；（2）最大值，最小值為；（3）一個，理由見解析.

【解析】

（1）利用導數(shù)運算性質可得，根據(jù)和在處有相同的切線．可得及，聯(lián)立解得．

（2）利用導數(shù)研究單調性后可得極值，再求出區(qū)間端點函數(shù)值即可得出所求的最值．

（3）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值，再結合零點存在定理可得出函數(shù)的零點個數(shù)．

（1）（其中），，

．

，．

和在處有相同的切線．

，解得．

，

（2），．

可得在上單調遞減，在上單調遞增．

時，函數(shù)取得極小值即最小值，．

又．

∴時，函數(shù)取得最大值，．

綜上可得：函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為：．

（3）函數(shù)．

．

當時，，故在為增函數(shù)；

當時，，故在為減函數(shù)；

當時，，故在為增函數(shù)；

，，

而，

故在有且只有一個零點，在上無零點，

綜上，有一個零點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知動點M到定點F1（-2，0）和F2（2，0）的距離之和為．

（1）求動點M軌跡C的方程；

（2）設N（0，2），過點P（-1，-2）作直線l，交橢圓C于不同于N的A，B兩點，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，問k1+k2是否為定值？若是的求出這個值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】過拋物線的一條弦的中點作平行于拋物線對稱軸的平行線（或與對稱軸重合），交拋物線于一點，稱以該點及弦的端點為頂點的三角形為這條弦的阿基米德三角形（簡稱阿氏三角形）.

現(xiàn)有拋物線:，直線：（其中，，是常數(shù)，且），直線交拋物線于，兩點，設弦的阿氏三角形是.

（1）指出拋物線的焦點坐標和準線方程；

（2）求的面積（用，，表示）；

（3）稱的阿氏為一階的；、的阿氏、為二階的；、、、的阿氏三角形為三階的；……，由此進行下去，記所有的階阿氏三角形的面積之和為，探索與之間的關系，并求.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四面體ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD＝，O是AC的中點，E是BD的中點．

（1）證明：DO⊥底面ABC；

（2）求二面角D-AE-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（題文）已知是直線上的動點，點的坐標是，過的直線與垂直，并且與線段的垂直平分線相交于點 .

（1）求點的軌跡的方程;

（2）設曲線上的動點關于軸的對稱點為，點的坐標為,直線與曲線的另一個交點為(與不重合)，是否存在一個定點，使得三點共線?若存在，求出點的坐標;若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列，對每一個正整數(shù)，該數(shù)列前項的最大值記為，第項之后各項的最小值記為，記．

（1）若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列的通項公式；

（2）證明：“數(shù)列單調遞增”是“”的充要條件；

（3）若對任意恒成立，證明：數(shù)列的通項公式為．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）設函數(shù)，若存在，使，證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓上一點關于原點的對稱點為，為其右焦點，若，設，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是( )

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設橢圓的離心率，左焦點為，右頂點為，過點的直線交橢圓于兩點，若直線垂直于軸時，有.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線： 上兩點， 關于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.

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