【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線交橢圓于兩點(diǎn).

(1)若以為直徑的圓內(nèi)切于圓，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)；

(2)當(dāng)時(shí)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？并說明理由.

【答案】(1) 橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6 (2) 在軸存在定點(diǎn)，使得為定值

【解析】試題分析：（1）根據(jù)圖形的幾何特點(diǎn)得到，兩個(gè)圓相內(nèi)切時(shí)，兩個(gè)圓的圓心距等于兩個(gè)圓的半徑，，進(jìn)而得到參數(shù)值a=3;(2)聯(lián)立直線和橢圓得到二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，進(jìn)而得到參數(shù)值.

解析：

(1)設(shè)的中點(diǎn)為，在三角形中，由中位線得：

.

當(dāng)兩個(gè)圓相內(nèi)切時(shí)，兩個(gè)圓的圓心距等于兩個(gè)圓的半徑，即，

所以，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6.

(2)由已知，，，所以橢圓方程為.

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為.

設(shè)，，

由，得，

∴恒成立.

∴，，

，

設(shè)，

，

當(dāng)即時(shí)為定值

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，為定值.

綜上：在軸存在定點(diǎn)，使得為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且點(diǎn)到橢圓上任意一點(diǎn)的最大距離為3，橢圓的離心率為.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在斜率為的直線與以線段為直徑的圓相交于、兩點(diǎn)，與橢圓相交于、，且？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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【題目】2017年6月深圳地鐵總公司對(duì)深圳地鐵1號(hào)線30個(gè)站的工作人員的服務(wù)態(tài)度進(jìn)行了滿意度調(diào)查，其中世界之窗、白石洲、高新園、深大、桃園、大新6個(gè)站的得分情況如下：

地鐵站

世界之窗

白石州

高新園

深大

桃園

大新

滿意度得分

70

76

72

70

72

x

已知6個(gè)站的平均得分為75分.

（1）求大新站的滿意度得分x，及這6個(gè)站滿意度得分的標(biāo)準(zhǔn)差；

（2）從表中前5個(gè)站中，隨機(jī)地選2個(gè)站，求恰有1個(gè)站得分在區(qū)間（68，75）中的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，圓的方程為.

（1）求圓的圓心到直線的距離；

（2）設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某工廠的一個(gè)車間抽取某種產(chǎn)品50件，產(chǎn)品尺寸（單位：）落在各個(gè)小組的頻數(shù)分布如下表：

數(shù)據(jù)分組

頻數(shù)

3

8

9

12

10

5

3

（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，求該產(chǎn)品尺寸落在的概率；

（2）求這50件產(chǎn)品尺寸的樣本平均數(shù).（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（3）根據(jù)頻數(shù)分布對(duì)應(yīng)的直方圖，可以認(rèn)為這種產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算得.利用該正態(tài)分布，求.

附：（1）若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則

，；

（2）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是：（是參數(shù)，是常數(shù)）.以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）求的反函數(shù)的圖象上點(diǎn)（1，0）處的切線方程；

（Ⅱ）證明：曲線與曲線有唯一公共點(diǎn)．

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【題目】祖暅?zhǔn)俏覈R梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家，是祖沖之的兒子，他提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容易.”這里的“冪”指水平截面的面積.“勢(shì)”指高，這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等。于是可把半徑相等的半球(底面在下)和圓柱(圓柱高等于半徑)放在同一水平面上，圓柱里再放一個(gè)半徑和高都與圓柱相等的圓錐(錐尖朝下)，考察圓柱里被圓錐截剩的立體，這樣在同一高度用平行平面截得的半球截面和圓柱中剩余立體截得的截面面積相等，因此半球的體積等于圓柱中剩余立體的體積.設(shè)由橢圓所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體(如圖，稱為“橢球體”)，請(qǐng)類比以上所介紹的應(yīng)用祖暅原理求球體體積的做法求這個(gè)橢球體的體積.其體積等于________.

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