Question

已知f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，n都有：f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞1．
（1）求f（0）；
（2）求證：f（x）在R上為增函數(shù)；
（3）若f（1）=2，且關(guān)于x的不等式f（ax-2）+f（x-x²）＜3對(duì)任意的x∈[1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令m=0即可；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，將f（x₂）變形成f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁），從而得到函數(shù)的單調(diào)性；
（3）f（ax-2）+f（x-x²）=f（ax-2+x-x²）+1＜3，根據(jù)f（1）=2及f（x）在R上為增函數(shù)即得x²-（a+1）x+3＞0對(duì)任意的x∈[1，+∞）恒成立，故只需討論△的正負(fù)情況即可．

解答： （1）解：令m=0，則f（0+n）=f（0）+f（n）-1，即f（0）=1；
（2）證明：任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞1，
∴f（x₂-x₁）＞1，
∵f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁），
∴f（x₂）＞f（x₁），
即f（x）在R上為增函數(shù)；
（3）∵f（ax-2）+f（x-x²）=f（ax-2+x-x²）+1＜3
∴f（ax-2+x-x²）＜2
又∵f（1）=2及f（x）在R上為增函數(shù)
∴ax-2+x-x²＜1對(duì)任意的x∈[1，+∞）恒成立，
即x²-（a+1）x+3＞0對(duì)任意的x∈[1，+∞）恒成立．
下面對(duì)△=（a+1）²-12的正負(fù)情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)△＜0，即（a+1）²-12＜0時(shí)，
-2

3

-1＜a＜2

3

-1
②當(dāng)△=0且x²-（a+1）x+3=0的解小于1時(shí)，
則a=±2

3

-1，x=

a+1

2

＜1，
故a=-2

3

-1；
③當(dāng)△＞0且x²-（a+1）x+3=0的最大解小于1時(shí)，
即0＜a²+2a-11＜a²-2a+1，
解得a＜-2

3

-1或2

3

-1＜a＜3，
綜合所述，a＜2

3

-1或2

3

-1＜a＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)，及其函數(shù)的單調(diào)性和不等式的解法，著重考查了函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)和函數(shù)恒成立問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．