在某兩個正數(shù)x,y之間,若插入一個數(shù)a,使x,a,y成等差數(shù)列,若插入兩個數(shù)b,c,使x,b,c,y成等比數(shù)列,求證:(a+1)²≥(b+1)(c+1).

已知函數(shù)f(x)=ax²+4(a為非零實數(shù)),設函數(shù)F(x)=
(1)若f(-2)=0,求F(x)的表達式.
(2)在(1)的條件下,解不等式1≤|F(x)|≤2.
(3)設mn<0,m+n>0,試判斷F(m)+F(n)能否大于0?

在平面直角坐標系xOy中,將從點M出發(fā)沿縱、橫方向到達點N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”.如圖所示的路徑MM₁M₂M₃N與路徑MN₁N都是M到N的“L路徑”.某地有三個新建的居民區(qū),分別位于平面xOy內(nèi)三點A(3,20),B(-10,0),C(14,0)處.現(xiàn)計劃在x軸上方區(qū)域(包含x軸)內(nèi)的某一點P處修建一個文化中心.

(1)寫出點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達式(不要求證明).
(2)若以原點O為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)部是保護區(qū),“L路徑”不能進入保護區(qū),請確定點P的位置,使其到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小.

已知a,b為正數(shù),求證:+≥.

已知a>0,b>0且a²+=1,求a的最大值.

解不等式|x-1|+|x-2|>5.

知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求xy的取值范圍.

已知關于x的不等式|x|>ax+1的解集為{x|x≤0}的子集,求a的取值范圍.

已知實數(shù)a,b滿足:關于x的不等式|x²+ax+b|≤|2x²-4x-16|對一切x∈R均成立.
(1)請驗證a=-2,b=-8滿足題意.
(2)求出所有滿足題意的實數(shù)a,b,并說明理由.
(3)若對一切x>2,均有不等式x²+ax+b≥(m+2)x-m-15成立,求實數(shù)m的取值范圍.

已知a∈R,設關于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集為A.
(1)若a=1,求A.
(2)若A=R,求a的取值范圍.