如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA₁=AB=2，E為棱AA₁的中點．
（Ⅰ）求證：B₁C₁⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B₁-CE-C₁的正弦值．

已知集合A={x|-3≤x≤1}，B={x|a-1≤x≤2a+3}，若A∪B=A，求實數a的取值范圍．

甲乙兩個盒子里各放有標號為1，2，3，4的四個大小形狀完全相同的小球，從甲盒中任取一小球，記下號碼x后放入乙盒，再從乙盒中任取一小球，記下號碼y，設隨機變量X=|x-y|．
（1）求y=2的概率；
（2）求隨機變量X的分布列及數學期望．

已知平面直角坐標系中，點O為原點，A（-3，-4），B（5，-12），若

OC

=

OA

+

OB

，

OD

=

OA

-

OB

．
（Ⅰ）求點C和點D的坐標；
（Ⅱ）求

OC

•

OD

．

已知多面體ABCDE中，AB⊥面ACD，DE⊥面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F為CE的中點．
（Ⅰ）求證：AF⊥CD
（Ⅱ）求直線AC與平面CBE所成角的余弦值．

數列{a_n}滿足a₁=-13，

1

an

-

2

an•an+1

-

1

an+1

=0，且前n項的和為S_n．
（1）證明：數列{a_n}為等差數列；
（2）求數列{

Sn

n

}的前n項和T_n．

為弘揚“樂于助人，與人為善”中華傳統美德，某社區(qū)組織了一個40人的社區(qū)志愿者服務團隊，他們在一個月內參加社區(qū)公益活動的次數統計如表所示：

活動次數	1	2	3
參加人數	5	15	20

（1）從該服務團隊中任意選3名志愿者，求這3名志愿者中至少有兩名志愿者參加活動次數簽好相等的概率；
（2）從該服務團隊中任選兩名志愿者，用X表示這兩人參加活動次數只差的絕對值，求隨機變量X的分布列及數學期望E（X）．

幾何特征與圓柱類似，底面為橢圓面的幾何體叫做“橢圓柱”．圖1所示的“橢圓柱”中，A′B′，AB和O′，O分別是上、下底面兩橢圓的長軸和中心，F₁、F₂是下底面橢圓的焦點．圖2是圖1“橢圓柱”的三視圖及其尺寸，其中俯視圖是長軸在一條水平線上的橢圓．

（Ⅰ）若M，N分別是上、下底面橢圓的短軸端點，且位于平面AA′B′B的兩側．
①求證：OM∥平面A′B′N；
②求平面ABN與平面A′B′N所成銳二面角的余弦值；
（Ⅱ）若點N是下底面橢圓上的動點，N′是點N在上底面的投影，且N′F₁，N′F₂與下底面所成的角分別為α、β，請先直觀判斷tan（α+β）的取值范圍，再嘗試證明你所給出的直觀判斷．

如圖，已知長方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點．將△ADM沿AM折起到△APM，使得平面APM⊥平面ABCM，點E在線段PB上，且PE=

1

3

PB．
（Ⅰ）求證：AP⊥BM；
（Ⅱ）求三棱錐ABEM的體積．

已知函數f（x）在R上是增函數，g（x）在R上是減函數．求證：函數F（x）=f（x）-g（x）在R上是增函數．