過(guò)點(diǎn)Q（4，1）作拋物線(xiàn)y²=8x的弦AB，恰被Q平分．
（1）求AB所在的直線(xiàn)方程．
（2）求弦AB的長(zhǎng)．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1﹙a＞0，b＞0﹚，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是其左右焦點(diǎn)，若橢圓的離心率為

1

2

，橢圓的焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）橢圓上是否存在一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到其左準(zhǔn)線(xiàn)的距離MN是MF₁，MF₂的等比中項(xiàng)？若存在，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

已知F（c，0）是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，圓F：（x-c）²+y²=a²與x軸交于E，D兩點(diǎn)，B是橢圓C與圓F的一個(gè)交點(diǎn)，且|BD|=

3

×|BE|．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）過(guò)點(diǎn)B與圓F相切的直線(xiàn)l與C的另一交點(diǎn)為A，且△ABD的面積等于24×

6

×

c

13

，求橢圓C的方程．

已知函數(shù)f（x）=tx-t-lnx（t＞0）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)n≥2且n∈N^*時(shí)，證明：

1

ln2

+

1

ln3

…+

1

lnn

＞lnn．

求下列函數(shù)的值域：
（1）f（x）=2x²-3x-1；
（2）f（x）=

x2+2x

x2-x

；
（3）f（x）=x+

x+1

；
（4）f（x）=2x-

x+2

；
（5）f（x）=

x2-1

x2+1

；
（6）f（x）=5-x+

3x-1

．

已知橢圓4x²+y²=1，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)橢圓在第一象限的部分曲線(xiàn)為C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為G、H，以O(shè)G、OH為鄰邊作平行四邊形OGMH，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）若橢圓與x軸y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)y=kx（k＞0）與橢圓交于R、S兩點(diǎn)，求四邊形ARBS面積的最大值．

已知橢圓C的焦點(diǎn)為F₁（-1，0）、F₂（1，0），點(diǎn)P（-1，

2

2

）在橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若拋物線(xiàn)E：y²=2px（p＞0）與橢圓C相交于點(diǎn)M、N，當(dāng)△OMN（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積取得最大值時(shí)，求P的值．
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)F₂作任意直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)E相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，則直線(xiàn)AF₁與直線(xiàn)BF₁的斜率之和是否為定值？若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)(

3

，-

3

2

)，且橢圓的離心率e=

1

2

，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線(xiàn)，分別交橢圓于點(diǎn)A、B及C、D．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：

1

|AB|

+

1

|CD|

為定值；
（Ⅲ）求|AB|+

9

16

|CD|的最小值．

已知點(diǎn)P在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，以P為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)F₂，且

OP

•

OF2

=2，tan∠OPF2=

2

，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)M（-1，0），設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過(guò)Q、M兩點(diǎn)的直線(xiàn)l交y軸于點(diǎn)N，若

NQ

=2

QM

，求直線(xiàn)l的方程；
（Ⅲ）作直線(xiàn)l₁與橢圓D：

x2

a2

+

2y2

b2

=1交于不同的兩點(diǎn)S，T，其中S點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），若點(diǎn)G（0，t）是線(xiàn)段ST垂直平分線(xiàn)上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足

GS

•

GT

=4，求實(shí)數(shù)t的值．

P是圓O：x²+y²=4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為Q，若PQ中點(diǎn)M的軌跡記為Γ．
（1）求Γ的方程；
（2）若直線(xiàn)l：y=kx+3與曲線(xiàn)Γ相切，求直線(xiàn)l被圓O截得的弦長(zhǎng)．