已知F₁（-c，0）、F₂（c，0）是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓E上．
（Ⅰ）若∠F₁MF₂的最大值是

π

2

，求橢圓E的離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線x=my+c與橢圓E交于P、Q兩點(diǎn)，過P、Q兩點(diǎn)分別作橢圓E的切線l₁，l₂，且l₁與l₂交于點(diǎn)R，試問：當(dāng)m變化時，點(diǎn)R是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，說明理由．

設(shè)非零平面向量

m

，

n

，θ=（

m

，

n

），規(guī)定

m

?

n

=|

m

|×|

n

|sinθ．F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是其上的頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)，且

OM

?

ON

=6

2

，離心率e=

1

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F₂的直線交橢圓C于點(diǎn)A，B，求：

OA

?

OB

的取值范圍．

設(shè)直線l₁：y=2x與直線l₂：x+y=6交于P點(diǎn)．
（1）當(dāng)直線m過P點(diǎn)且與直線l₀：x-2y=0垂直時，求直線m的方程；
（2）當(dāng)直線m過P點(diǎn)且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線m的距離為2時，求直線m的方程．

已知F₁、F₂分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，以F₁P為直徑的圓經(jīng)過F₂，

PF1

•

PF2

=

1

16

a2．直線l經(jīng)過F₁，與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)₂與A、B兩點(diǎn)構(gòu)成△ABF₂．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）設(shè)△F₁PF₂的周長為2+

3

，求△ABF₂的面積S的最大值．

如圖，設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，短軸的兩個端點(diǎn)分別為A，B，且滿足|

F1A

+

F1B

|=|

F2A

-

F2B

|，橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（

2

，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)M（

2

3

，0）且斜率為k的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，問：在x軸的正半軸上是否存在一個定點(diǎn)T，使得無論直線l如何轉(zhuǎn)動，以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，左、右兩個焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，且拋物線y²=4

3

x與該橢圓有一個共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF₂⊥F₁F₂，|PF₁|=

7

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)D（

3

2

，0），過F₂且不垂直于坐標(biāo)軸的動直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，求直線l的方程．

如圖所示，已知橢圓C₁和拋物線C₂有公共焦點(diǎn)F（1，0），C₁的中心和C₂的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M（4，0）的直線l與拋物線C₂分別相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫出拋物線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求證：以AB為直徑的圓過原點(diǎn)；
（Ⅲ）若坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P在拋物線C₂上，直線l與橢圓C₁相切，求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程．

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），若橢圓C的一個焦點(diǎn)為F（

2

，0），其短軸上的一個端點(diǎn)到F的距離為

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)Q滿足

AQ

=

QB

且

NQ

•

AB

=0，其中N為橢圓的下頂點(diǎn)，求直線在y軸上截距的取值范圍．

在學(xué)習(xí)完統(tǒng)計(jì)學(xué)知識后，兩位同學(xué)對所在年級的1200名同學(xué)一次數(shù)學(xué)考試成績作抽樣調(diào)查，兩位同學(xué)采用簡單隨機(jī)抽樣方法抽取100名學(xué)生的成績，并將所選的數(shù)學(xué)成績制成如統(tǒng)計(jì)表，設(shè)本次考試的最低期望分?jǐn)?shù)為90分，優(yōu)等生最低分130分，并且考試成績分?jǐn)?shù)在[85，90）的學(xué)生通過自身努力能達(dá)到最低期望分?jǐn)?shù)．
（Ⅰ）求出各分?jǐn)?shù)段的頻率并作出頻率分布直方圖；
（Ⅱ）用所抽學(xué)生的成績在各個分?jǐn)?shù)段的頻率表示概率，請估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績達(dá)到最低期望的學(xué)生分?jǐn)?shù)和優(yōu)等生人數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)考試成績在[85，90）的學(xué)生成績?nèi)缦拢?0，81，83，84，86，89，從分?jǐn)?shù)在[85，90）的學(xué)生中抽取2人出來檢查數(shù)學(xué)知識的掌握情況，記所抽取學(xué)生中通過自身努力達(dá)到最低期望分?jǐn)?shù)的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

分?jǐn)?shù)段	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數(shù)	9	6	12	18	21	16	12	6
頻率

已知動圓過定點(diǎn)（1，0），且與直線x=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上兩個不同的點(diǎn)，且OA⊥OB，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)．