如圖，A是以BC為直徑的⊙O上一點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，G是AD的中點(diǎn)，連結(jié)CG并延長(zhǎng)與BE相交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AF與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．
（1）求證：BF=EF；
（2）求證：PA是⊙O的切線；
（3）若FG=BF，且的⊙O半徑長(zhǎng)為3

2

，求BD和FG的長(zhǎng)度．

請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)算法框圖，要求輸入自變量x的值，輸出函數(shù)f（x）=

-x+1，x≥0 x+3，x＜0

的值．

若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意正整數(shù)n都有6S_n=1-2a_n，記bn=log

1

2

an．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n+1-c_n=b_n，c₁=0，求證：對(duì)任意n≥2，n∈N*都有

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

＜

3

4

．

設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0，

2

)，線段FA的中點(diǎn)在拋物線上．設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與拋物線相切于點(diǎn)P，且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，以PQ為直徑的圓記為圓C．
（1）求p的值；
（2）試判斷圓C與x軸的位置關(guān)系；
（3）在坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn)M，使得圓C恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

“開(kāi)門大吉”是某電視臺(tái)推出的游戲益智節(jié)目．選手面對(duì)1-4號(hào)4扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會(huì)播放一段音樂(lè)（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確回答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對(duì)應(yīng)的家庭夢(mèng)想基金．正確回答每一扇門后，選手可自由選擇帶著獎(jiǎng)金離開(kāi)比賽，還可繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門以獲得更多獎(jiǎng)金（獎(jiǎng)金金額累加），但是一旦回答錯(cuò)誤，獎(jiǎng)金將清零，選手也會(huì)離開(kāi)比賽．在一次場(chǎng)外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參加比賽的選手多數(shù)分為兩個(gè)年齡段：20～30；30～40（單位：歲），其猜對(duì)歌曲名稱與否人數(shù)如圖所示． 
每扇門對(duì)應(yīng)的夢(mèng)想基金：（單位：元）

第一扇門	第二扇門	第三扇門	第四扇門
1000	2000	3000	5000

（Ⅰ）寫出2×2列聯(lián)表；判斷是否有90%的把握認(rèn)為猜對(duì)歌曲名稱與否與年齡有關(guān)？說(shuō)明你的理由．（下面的臨界值表供參考）

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（Ⅱ）若某選手能正確回答第一、二、三、四扇門的概率分別為

4

5

，

3

4

，

2

3

，

1

3

，正確回答一個(gè)問(wèn)題后，選擇繼續(xù)回答下一個(gè)問(wèn)題的概率是

1

2

，且各個(gè)問(wèn)題回答正確與否互不影響．設(shè)該選手所獲夢(mèng)想基金總數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．（參考公式K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

其中n=a+b+c+d）

已知函數(shù)f（x）=

sin2x

sinx

+2sinx．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和最小正周期；
（2）若f（α）=2，α∈[0，π]，求f（α+

π

12

）的值．

已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1，-

2

2

)，（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓M的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)點(diǎn)F₂的直線交橢圓M于A，B兩點(diǎn)，求△ABF₁面積的最大值．

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸上，離心率e=

3

2

，點(diǎn)Q(

2

，

2

2

)在橢圓C上．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若斜率為k（k≠0）的直線n交橢圓C與A、B兩點(diǎn)，且k_OA、k、k_OB成等差數(shù)列，點(diǎn)M（1，1），求S_△ABM的最大值．

如圖，△ABC的三條角平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，求證：∠BOD=∠COE．

已知曲線C₁：

x2

4

+

y2

4λ

=1和曲線C₂：

x2

4λ

+

y2

4λ2

=1（0＜λ＜1）．曲線C₂的左頂點(diǎn)恰為曲線C₁的左焦點(diǎn)．
（1）求λ的值；
（2）設(shè)P（x₀，y₀）為曲線C₂上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線交曲線C₁于A，C兩點(diǎn)，直線OP交曲線C₁于B，D兩點(diǎn)，若P為AC中點(diǎn)．
①求證：直線AC的方程為x₀x+2y₀y=2；
②四邊形ABCD的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．