已知函數(shù)y=f（x）=-x³+ax²+b…（a，b∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，若f（x）滿足：y_極小值=1，y_極大值=

31

27

，試求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，1]時(shí)，y=f（x）圖象上的任意一點(diǎn)處的切線斜率k滿足：|k|≤1，求a的取值范圍．

長(zhǎng)度為a（a＞0）的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)P在線段AB上，且

AP

=λ

PB

（λ為常數(shù)且λ＞0）．
（I）求點(diǎn)P的軌跡方程C，并說明軌跡類型；
（II）當(dāng)λ=2時(shí)，已知直線l₁與原點(diǎn)O的距離為

a

2

，且直線l₁與軌跡C有公共點(diǎn)，求直線l₁的斜率k的取值范圍．

2009年6月1日起頒布實(shí)施的《食品安全法》取消了食品免檢，某品牌10箱食品在出廠前進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，已知其中有2箱是次品．
（1）任意取出2箱進(jìn)行檢測(cè)，求其中至少有一箱是次品的概率；
（2）為了保證使2箱次品全部被檢測(cè)出的概率不低于0.6，最少應(yīng)抽取幾箱產(chǎn)品做檢測(cè)？

有兩輛汽車由南向北駛?cè)胨牟媛房冢�各車向左轉(zhuǎn)，向右轉(zhuǎn)或向前行駛的概率相等，且各車的駕駛員相互不認(rèn)識(shí)．
（I）規(guī)定：“第一輛車向左轉(zhuǎn)，第二輛車向右轉(zhuǎn)”這一基本事件用“（左，右）”表示．又“（直，左）”表示的是基本事件：“第一輛車向前直行，第二車向左轉(zhuǎn)”．請(qǐng)參照上面規(guī)定列出兩輛汽車過路口的所有基本事件；
（II）求至少有一輛汽車向左轉(zhuǎn)的概率；
（III）設(shè)有ξ輛汽車向左轉(zhuǎn)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a_n＞0，Sn=

a 2 n +an

2

，n∈N^*，
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，bn+1=2an+bn，求b_n．

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn =

3

2

(an -1)，n∈N+．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃a_n，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和．

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直線A₁B上．
（Ⅰ）求證：BC⊥A₁B；
（Ⅱ）若AD=

3

，AB=BC=2，P為AC的中點(diǎn)，求三棱錐P-A₁BC的體積．

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD．SD=2，AD=

2

，E是SD上的點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC⊥BE；
（Ⅱ）求二面角C-AS-D的余弦值．

設(shè)點(diǎn)P是圓x²+y²=4上的任一點(diǎn)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，0）．當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程是．

將三棱錐A-BCD沿三條側(cè)棱剪開，展開圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為2

2

的正三角形（如圖所示），則該三棱錐的外接球的表面積是．