Question

12．如右圖所示，在矩形ABCD區(qū)域內(nèi)，對角錢BD以上的區(qū)域存在有平行于AD向下的勻強電場，對角線BD以下的區(qū)域存在有垂直于紙面的勻強磁場（圖中未標(biāo)出），矩形AD邊長L，AB邊長為2L．一個質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子（重力不計）以初速度v_o從A點沿AB方向進(jìn)入電場，在對角線BD的中點P處進(jìn)入磁場，并從DC邊上以垂直于DC邊的速度離開磁場（圖中未畫出），求：
（1）電場強度E的大��？
（2）帶電粒子經(jīng)過P點時速度v的大小和方向？
（3）磁場的磁感應(yīng)強度B的大小和方向？

Answer 1

分析 （1）（2）帶電粒子進(jìn)入電場做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做初速度為0的勻加速直線運動，到達(dá)P點后，水平位移是豎直位移的$\sqrt{2}$倍，抓住這一關(guān)系，求出電場強度的大�。�在豎直方向上做勻變速運動，根據(jù)運動學(xué)公式求出豎直方向速度，再根據(jù)運動的合成和分解規(guī)律求出速度，根據(jù)兩分速度的關(guān)系求出夾角；
（3）作出進(jìn)入磁場的軌跡圖，確定出圓心，根據(jù)幾何關(guān)系得出半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，通過半徑公式，求出磁感應(yīng)強度B的大小，根據(jù)洛倫茲力的方向確定出磁場的方向．

解答 解：（1）（2）帶電粒子受電場力作用做類平拋運動，
在豎直方向上：$\frac{1}{2}$L=$\frac{1}{2}$at²，
在水平方向上：L=v₀t，
由牛頓第二定律得：Eq=ma，
解得：a=$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$，
場強為：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
在豎直方向上做勻變速運動，Y方向分速度為v_y，
v_y²=2a•$\frac{L}{2}$，
解得：v_y=v₀，
到P點時速度為：V=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，
速度與水平方向的夾角θ滿足：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，
此時速度與水平方向的夾角為θ=45°；
（3）由幾何關(guān)系可知：粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角為45°   
sin45°=$\frac{\frac{L}{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，
粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$，方向垂直紙面向外．
答：（1）場強度E的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
（2）粒子經(jīng)過P點時速度v的大小為$\sqrt{2}$v₀，速度與水平方向的夾角為θ=45°；
（3）磁場的磁感應(yīng)強度B的大小為：$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$，方向垂直紙面向外

點評 本題重點考查帶電粒子在勻強電場中的類平拋和勻強磁場中的勻速圓周運動，以及運用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力；要明確粒子在電場中運動時一般根據(jù)運動的合成和分解規(guī)律求解；而在磁場中運動時要注意分析粒子的運動軌跡，確定圓心和半徑，再利用洛倫茲力充當(dāng)向心力求解．