Question

17．某球形天梯“地軸”自轉(zhuǎn)，A、B分別為球體表面上兩點，A在“北極”，B在“赤道”，C為赤道上某一高為h的山峰，現(xiàn)將質(zhì)量同為m的兩小球分別放在A、B兩處，測得重力大小為G₁、G₂，已知萬有引力常量為G，星球球體半徑為R，以下判斷正確的是（　�。�

• A． 天體質(zhì)量為$\frac{{G}_{1}{R}^{2}}{Gm}$
• B． 天體第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{{G}_{1}R}{m}}$
• C． 小球在山峰上C處重力大小G₃=$\frac{{G}_{1}{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$-$\frac{（{G}_{1}-{G}_{2}）}{R}$（R+h）
• D． 若在山峰上拋出一個小球，使其不落回地面，速度至少需要達(dá)到$\sqrt{\frac{{G}_{1}R}{hm}}$

Answer 1

分析 由在北極處重力等于萬有引力，求得球體的質(zhì)量；由萬有引力提供向心力求得第一宇宙速度；小球在山峰上C處重力與向心力的合力為萬有引力．

解答 解：A、北極處重力等于萬有引力，則${G}_{1}=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$中，得M=$\frac{{G}_{1}{R}^{2}}{Gm}$，則A正確
　　B、萬有引力提供向心力得第一宇宙速度為：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{{G}_{1}R}{m}}$，則B正確
   C、山峰上C處重力為：G₃=$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}-m（R+h）{ω}^{2}$，
              而在B處：G₁-G₂=mRω²
                  又：M=$\frac{{G}_{1}{R}^{2}}{Gm}$ 
    由以上各式可得：G₃=$\frac{{G}_{1}{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$-$\frac{（{G}_{1}-{G}_{2}）}{R}$（R+h），則C正確
  D、拋出一個小球，使其不落回地面，速度至少需要達(dá)到v=$\sqrt{\frac{GM}{（R+h）}}$=$\sqrt{\frac{{G}_{1}{R}^{2}}{m（R+h）}}$，則D錯誤
故選：ABC

點評 考查萬有引力與重力的關(guān)系，明確定在兩極處萬有引力等于重力，其它位置萬有引力為重力與向心力的合力．