Question

3．發(fā)射地球同步衛(wèi)星時，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點火，使其沿橢圓軌道2運行，最后再次點火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3，軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點，如圖所示．
（1）衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運行時，以下說法正確的是CD：
A．衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率．
B．衛(wèi)星在軌道3上的角速度大于在軌道1上的角速度．
C．衛(wèi)星在軌道1上運動一周的時間小于它在軌道2上運動一周的時間．
D．衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點時的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過P點時的加速度．
（2）已知地球表面的重力加速度大小為g，地球的自轉(zhuǎn)周期為T，衛(wèi)星在同步圓軌道3上的軌道半徑為r，求：地球的半徑？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)人造衛(wèi)星的萬有引力等于向心力G$\frac{mM}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r=ma，列式求出加速度、線速度的表達式進行討論；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，萬有引力等于重力，得出軌道半徑與周期的關(guān)系，從而求出地球的半徑．

解答 解：（1）A、衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m、軌道半徑為r、地球質(zhì)量為M，有G$\frac{mM}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$．軌道3半徑比軌道1半徑大，故衛(wèi)星在軌道1上線速度較大，故A錯誤；
B、根據(jù)萬有引力提供向心力G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mω²r，得ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$．軌道3半徑比軌道1半徑大，故衛(wèi)星在軌道1上角速度較小，故B錯誤；
C、根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律G$\frac{mM}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²得，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，所以在軌道1上運動一周的時間小于它在軌道2上運動一周的時間．故C正確；
D、因為G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma，得a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，所以衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道2上經(jīng)過P點時的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過P點時的加速度．故D正確．
故選：CD
（2）根據(jù)G$\frac{mM}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²得，
T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$．
又GM=gR²
聯(lián)立兩式得，R=$\frac{2πr}{T}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$．
答：地球的半徑為$\frac{2πr}{T}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$．

點評 本題關(guān)鍵抓住萬有引力提供向心力，先列式求解出加速度、線速度、角速度的表達式，再進行討論．要能夠根據(jù)題目的要求選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_式；
解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力等于重力和萬有引力提供向心力這兩個理論，并能熟練運用．